SEBA Class 10 Mathematics Chapter 3 দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ Exercise 3.2 Assamese Medium

Exercise 3.2

1. তলৰ সমস্যাবোৰত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰ গঠন কৰা আৰু লৈখিকভাবে সেইবোৰৰ সমাধান উলিওৱা।

(i) এটা গণিত কুইজত দশম শ্ৰেণীৰ 10 জন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে অংশ গ্রহণ কৰিছিল। যদি ছাত্ৰতকৈ ছাত্ৰীৰ সংখ্যা 4 বেছি, তেন্তে অংশ গ্রহণ কৰা ছাত্ৰ আৰু ছাত্ৰীৰ সংখ্যা উলিওৱা।

Solution

ধৰাহ'ল,

ছাত্ৰীৰ সংখ্য়া = x

ছাত্ৰৰ সংখ্য়া = y

প্ৰশ্নমতে,

x + y = 10 ------- (i)

আৰু

x - y = 4 ------- (ii)

এতিয়া,

সমীকৰণ (i) ৰ পৰা,

y = 10 - x

x	4	6
y	6	4

আকৌ, সমীকৰণ (ii) ৰ পৰা,

y = x - 4

x	4	5
y	0	1

এতিয়া, সমীকৰণ দুটাক লৈখিকভাৱে উপস্থাপন কৰিলে,

দেখা গ'ল যে, লেখ দুটালে পৰস্পৰক (7, 3) বিন্দুত ছেদ কৰিছে। গতিকে, শ্ৰেণীটোৰ ছাত্ৰীৰ সংখ্যা 7 গৰাকী আৰু ছাত্ৰৰ সংখ্যা 3 গৰাকী।

(ii) 5 ডাল পেঞ্চিল আৰু 7টা পেনৰ দাম একেলগে 50 টকা আৰু 7 ডাল পেঞ্চিল আৰু 5 টা পেনৰ দাম একেলগে 46 টকা। এডাল পেঞ্চিল আৰু এটা পেনৰ দাম উলিওৱা।

Solution:

ধৰাহ'ল,

এডাল পেঞ্চিলৰ দাম = x টকা

এটা পেনৰ দাম = y টকা

প্ৰশ্নমতে,

5x + 7y = 50 ------- (i)

আৰু

7x + 5y = 46 ------- (ii)

সমীকৰণ (i) ৰ পৰা

7y = 50 - 5x

⇒ y = $\large \frac{50-5x}{7}$

x	10	3
y	0	5

সমীকৰণ (ii) ৰ পৰা

5y = 46 - 7x

⇒ y = $\large \frac{46-7x}{5}$

x	3	8
y	5	-2

এতিয়া, সমীকৰণ দুটাক লৈখিকভাৱে উপস্থাপন কৰিলে,

দেখা গ'ল যে, লেখ দুটালে পৰস্পৰক (3, 5) বিন্দুত ছেদ কৰিছে। গতিকে, এডাল পেঞ্চিলৰ দাম 3 টকা আৰু এটা পেনৰ দাম 5 টকা।

2. $\large \frac{a1}{a2}$ , $\large \frac{b1}{b2}$ আৰু $\large \frac{c1}{c2}$ অনুপাতকেইটা ৰিজাই তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰকেইটাই বুজোৱা ৰেখা দুটাই এটা বিন্দুত কাটিব, নে সমান্তৰাল হ'ব নে লগলগা, তাক নিৰ্ণয় কৰা:

Solution:

(i) 5x - 4y + 8 = 0

7x + 6y - 9 = 0

সমীকৰণ দুটাৰ পৰা,

a$_1$ = 5, b$_1$ = -4, c$_1$ = 8

a$_2$ = 7, b$_2$ = 6, c$_2$ = -9

∴ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{7}$

$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{6} = - \frac{2}{3}$

$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{-9}$

∵ $\large \frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$

গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ ৰেখা দুডালৰ এটা অদ্বিতীয় সমাধান থাকিব আৰু ইহঁতে পৰস্পৰক কেৱল এটা বিন্দুত ছেদ কৰিব।

(ii) 9x + 3y + 12 = 0

18x + 6y + 24 = 0

সমীকৰণ দুটাৰ পৰা,

a$_1$ = 9, b$_1$ = 3, c$_1$ = 12

a$_2$ = 18, b$_2$ = 6, c$_2$ = 24

∴ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$

$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

∵ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ ৰেখা দুডালৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব আৰু ইহঁতে এডালে আনডালৰ সৈতে মিলি যাব বা লগ লাগিব।

(iii) 6x - 3y + 10 = 0

2x - y + 9 = 0

সমীকৰণ দুটাৰ পৰা,

a$_1$ = 6, b$_1$ = -3, c$_1$ = 10

a$_2$ = 2, b$_2$ = -1, c$_2$ = 9

∴ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3$

$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1} = 3$

$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9}$

∵ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} ≠ \frac{c_1}{c_2}$

গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ ৰেখা দুডালৰ কোনো সমাধান নাই আৰু ইহঁত পৰস্পৰ সমান্তৰাল ৰেখা।

3. $\large \frac{a1}{a2}$ , $\large \frac{b1}{b2}$ আৰু $\large \frac{c1}{c2}$ অনুপাতকেইটা ৰিজাই নিৰ্ণয় কৰা তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰকেইটা সংগত নে অসংগত।

Solution:

(i) 3x + 2y = 5 ; 2x - 3y = 7

সমীকৰণ দুটাক সজাই লিখিলে,

3x + 2y - 5 = 0

2x - 3y - 7 = 0

সমীকৰণ দুটাৰ পৰা,

a$_1$ = 3, b$_1$ = 2, c$_1$ = -5

a$_2$ = 2, b$_2$ = -3, c$_2$ = -7

∴ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}$

$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-3}$

$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-7} = \frac{5}{7}$

∵ $\large \frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$

গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ ৰেখা দুডালে পৰস্পৰক এটা অদ্বিতীয় বিন্দুত ছেদ কৰিব।

গতিকে, সমীকৰণৰ যোৰটো সংগত।

(ii) 2x - 3y = 8 ; 4x - 6y = 9

সমীকৰণ দুটাক সজাই লিখিলে,

2x - 3y - 8 = 0

4x - 6y - 9 = 0

সমীকৰণ দুটাৰ পৰা,

a$_1$ = 2, b$_1$ = -3, c$_1$ = -8

a$_2$ = 4, b$_2$ = -6, c$_2$ = -9

∴ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$

$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-9} = \frac{8}{9}$

∵ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} ≠ \frac{c_1}{c_2}$

গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ ৰেখা দুডাল সমান্তৰাল আৰু ইহঁতৰ কোনো সমাধান নাই।

গতিকে, সমীকৰণৰ যোৰটো অসংগত।

(iii) 3x/2 + 5y/3 = 7 ; 9x - 10y = 14

সমীকৰণ দুটাক সজাই লিখিলে,

$\large \frac{3}{2}x + \frac{5}{3}y - 7 = 0$

$9x - 10y - 14 = 0$

সমীকৰণ দুটাৰ পৰা,

a$_1$ = $\large \frac {3}{2}$, b$_1$ = $\large \frac {5}{3}$, c$_1$ = -7

a$_2$ = 9, b$_2$ = -10, c$_2$ = -14

∴ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2×9} = \frac{1}{6}$

$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{5}{3×(-10)} = \frac{1}{-6}$

$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{-7}{-14} = \frac{1}{2}$

∵ $\large \frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$

গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ ৰেখা দুডালে পৰস্পৰক এটা অদ্বিতীয় বিন্দুত ছেদ কৰিব।

গতিকে, সমীকৰণৰ যোৰটো সংগত।

(iv) 5x - 3y = 11 ; -10x + 6y = -22

সমীকৰণ দুটাক সজাই লিখিলে,

5x - 3y - 11 = 0

-10x + 6y + 22 = 0

সমীকৰণ দুটাৰ পৰা,

a$_1$ = 5, b$_1$ = -3, c$_1$ = -11

a$_2$ = -10, b$_1$ = 6, c$_2$ = 22

∴ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{-10} = - \frac{1}{2}$

$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = - \frac{1}{2}$

$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{-11}{22} = - \frac{1}{2}$

∵ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ ৰেখা দুডালৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব আৰু ইহঁতে এডালে আনডালৰ সৈতে মিলি যাব।

গতিকে, সমীকৰণৰ যোৰটো সংগত (পৰতন্ত্ৰ)।

(v) 4x/3 + 2y = 8 ; 2x + 3y = 12

সমীকৰণ দুটাক সজাই লিখিলে,

$\large \frac{4}{3}$x + 2y - 8 = 0

2x + 3y - 12 = 0

সমীকৰণ দুটাৰ পৰা,

a$_1$ = $\large \frac{4}{3}$, b$_1$ = 2, c$_1$ = -8

a$_2$ = 2, b$_1$ = 3, c$_2$ = -12

∴ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{3×2} = \frac{2}{3}$

$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{3}$

$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-12} = \frac{2}{2}$

∵ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ ৰেখা দুডালৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব আৰু ইহঁতে এডালে আনডালৰ সৈতে মিলি যাব।

গতিকে, সমীকৰণৰ যোৰটো সংগত (পৰতন্ত্ৰ)।

4. তলৰ কোনবোৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ সংগত/অসংগত? যদি সংগত, লেখৰ সহায়ত সমাধান উলিওৱা।

(i) x + y = 5 , 2x + 2y = 10
(ii) x - y = 8, 3x - 3y = 16
(iii) 2x + y - 6 = 0 , 4x - 2y - 4 = 0
(iv) 2x - 2y - 2 = 0, 4x - 4y - 5 = 0

Solution:

(i) x + y = 5 , 2x + 2y = 10

সমীকৰণ দুটাৰ পৰা,

a$_1$ = 1, b$_1$ = 1, c$_1$ = -5

a$_2$ = 2, b$_1$ = 2, c$_2$ = -10

∴ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$

$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$

$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$

∵ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ ৰেখা দুডালৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব আৰু ইহঁতে এডালে আনডালৰ সৈতে মিলি যাব।

গতিকে, সমীকৰণৰ যোৰটো সংগত (পৰতন্ত্ৰ)।

এতিয়া, x + y = 5 সমীকৰণৰ পৰা-

⇒ y = 5 - x

x	5	0
y	0	5

আকৌ, 2x + 2y = 10 সমীকৰণৰ পৰা-

⇒ 2y = 10 - 2x

⇒ y = $\large \frac{10 - 2x}{2}$

x	1	2
y	4	3

এতিয়া, সমীকৰণ দুটাক লেখত উপস্থাপন কৰিলে,

দেখা গ'ল যে, ৰেখা দুডাল এডাল আনডালৰ লগত মিলি গৈছে।

গতিকে, সমীকৰণ দুটাৰ অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।

(ii) x - y = 8, 3x - 3y = 16

সমীকৰণ দুটাৰ পৰা,

a$_1$ = 1, b$_1$ = -1, c$_1$ = -8

a$_2$ = 3, b$_1$ = -3, c$_2$ = -16

∴ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$

$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$

$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$

∵ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} ≠ \frac{c_1}{c_2}$

গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ সমান্তৰাল। গতিকে সমীকৰণ দুটাৰ কোনো সমাধান নাই।

গতিকে, সমীকৰণৰ যোৰটো অসংগত।

(iii) 2x + y - 6 = 0 , 4x - 2y - 4 = 0

সমীকৰণ দুটাৰ পৰা,

a$_1$ = 2, b$_1$ = 1, c$_1$ = -6

a$_2$ = 4, b$_1$ = -2, c$_2$ = -4

∴ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2}$

$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$

∵ $\large \frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$

গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ ৰেখা দুডালে পৰস্পৰক এটা অদ্বিতীয় বিন্দুত ছেদ কৰিব, গতিকে সমীকৰণৰ দুটাৰ কেৱল এটা সমাধান থাকিব।

গতিকে, সমীকৰণৰ যোৰটো সংগত।

এতিয়া, 2x + y - 6 = 0 সমীকৰণৰ পৰা-

⇒ y = 6 - 2x

x	0	3
y	6	0

আকৌ, 4x - 2y - 4 = 0 সমীকৰণৰ পৰা-

⇒ 2y = 4x - 4

⇒ y = $\large \frac{4x - 4}{2}$

x	1	2
y	0	2

এতিয়া, সমীকৰণ দুটাক লেখত উপস্থাপন কৰিলে,

দেখা গ'ল যে, ৰেখা দুডাল পৰস্পৰক (2, 2) বিন্দুত ছেদ কৰিছে।

গতিকে, নিৰ্ণেয় সমাধান হ'ব (2, 2)।

(iv) 2x - 2y - 2 = 0, 4x - 4y - 5 = 0

সমীকৰণ দুটাৰ পৰা,

a$_1$ = 2, b$_1$ = -2, c$_1$ = -2

a$_2$ = 4, b$_1$ = -4, c$_2$ = -5

∴ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$

$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$

∵ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} ≠ \frac{c_1}{c_2}$

গতিকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণৰ ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ সমান্তৰাল। গতিকে সমীকৰণ দুটাৰ কোনো সমাধান নাই।

গতিকে, সমীকৰণৰ যোৰটো অসংগত।

5. এখন আয়তাকাৰ বাগিচাৰ প্ৰস্থতকৈ দীঘ 4 মিটাৰ বেছি। ইয়াৰ পৰিসীমাৰ আধা 36 মিটাৰ। বাগিচাখনৰ দীঘ, প্রস্থ নিৰ্ণয় কৰা।

Solution:

ধৰাহ'ল,

আয়তাকাৰ বাগিছাখনৰ দীঘ = x মি.

আৰু প্ৰস্থ = y মি.

প্ৰশ্নমতে,

x - y = 4

আৰু

$\large \frac{1}{2}$ × 2(x + y ) = 36

⇒ x + y = 36

এতিয়া, x - y = 4 সমীকৰণৰ পৰা-

⇒ y = x - 4

x	10	20
y	6	16

আকৌ, x + y = 36 সমীকৰণৰ পৰা-

⇒ y = 36 - x

x	20	16
y	16	20

এতিয়া, সমীকৰণ দুটাক লেখত উপস্থাপন কৰিলে,

দেখা গল যে, সমীকৰণ দুটাৰ লেখ দুটাই পৰস্পৰক (20, 16) বিন্দুত ছেদ কৰিছে।

গতিকে, নিৰ্ণেয় আয়তাকাৰ বাগিছা খনৰ দীঘ 20 মি. আৰু প্ৰস্থ 16 মি.

6. 2x + 3y - 8 = 0 ৰৈখিক সমীকৰণটো দিয়া আছে। দুটা চলকত অইন এটা ৰৈখিক সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা যাতে এইদৰে গঠন হোৱা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটোৰ জ্যামিতিক প্ৰদৰ্শনটো হ'ব-

(i) কটাকটি ৰেখা
(ii) সমান্তৰাল ৰেখা
(iii) মিলি যোৱা ৰেখা।

Solution:

দিয়া আছে, 2x + 3y - 8 = 0

ইয়াত, a$_1$ = 2, b$_1$ = 3, c$_1$ = -8

(i) কটাকটি ৰেখা

দুডাল ৰেখাই কটাকটি কৰে যেতিয়া $\large \frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$ হয়।

এই চৰ্তটো সিদ্ধ হোৱাকৈ a$_1$ = 3, b$_1$ = 4, c$_1$ = -8 লোৱা হওঁক।

গতিকে, আনটো ৰৈখিক সমীকৰণ হ'ব 3x + 4y - 8 =0

(ii) সমান্তৰাল ৰেখা

দুডাল ৰেখা সমান্তৰাল হয় যেতিয়া $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} ≠ \frac{c_1}{c_2}$ হয়।

এই চৰ্তটো সিদ্ধ হোৱাকৈ a$_1$ = 2, b$_1$ = 3, c$_1$ = 2 লোৱা হওঁক।

গতিকে, আনটো ৰৈখিক সমীকৰণ হ'ব 2x + 3y + 2 =0

(iii) মিলি যোৱা ৰেখা

দুডাল ৰেখা পৰস্পৰ মিলি যায় যেতিয়া $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ হয়।

এই চৰ্তটো সিদ্ধ হোৱাকৈ a$_1$ = 4, b$_1$ = 6, c$_1$ = -16 লোৱা হওঁক।

গতিকে, আনটো ৰৈখিক সমীকৰণ হ'ব 4x + 6y - 16 =0

7. x - y + 1 = 0 আৰু 3x + 2y - 12 = 0 সমীকৰণ দুটাৰ লেখ অংকন কৰা। এই ৰেখা দুটাই X-অক্ষৰ লগত কৰা ত্রিভুজটোৰ শীর্ষবিন্দুকেইটাৰ স্থানাংক উলিওৱা। ত্রিভুজীয় ক্ষেত্রটো প্রচ্ছাদিত কৰা।

Solution:

x - y + 1 = 0

⇒ y = x + 1

x	0	1
y	1	2

3x + 2y - 12 = 0

⇒ 2y = 12 - 3x

⇒ y = $\large \frac{12 - 3x}{2}$

x	0	4
y	6	0

লেখৰ পৰা, ত্ৰিভুজটোৰ শীৰ্ষবিন্দু কেইটা হ'ল- (-1, 0), (4, 0) আৰু (2, 3)