ইউক্লিডৰ জ্যামিতিৰ পৰিচয়
Exercise 5.1 (অনুশীলনী)
1. তলৰ কোনবোৰ উক্তি সত্য আৰু কোনবোৰ অসত্য । তোমাৰ উত্তৰৰ সপক্ষে কাৰণ দেখুৱা ।
(i) এটা বিন্দুৰ মাজেৰে মাথোঁ এডাল ৰেখাহে পাব পাৰি ।
(ii) দুটা বিন্দুৰ মাজেৰে অসীম সংখ্যাক ৰেখা পাব পাৰি ।
(iii) এডাল সীমিত ৰেখাণ্ডক অসীমভাৱে দুই মূৰে বৃদ্ধি কৰিব পাৰে ।
(iv) যদি দুটা বৃত্ত সমান, তেন্তে সিহঁতৰ ব্যাসাৰ্ধাও সমান ।
(v) চিত্ৰ 5.9 ত যদি AB = PQ আৰু PQ = XY, তেন্তে AB = XY.
সমাধানঃ
(i) উক্তিটো অসত্য । কাৰণ এটা বিন্দুৰ মজেৰে অসংখ্যক ৰেখা পাব পাৰি ।
(ii) উক্তিটো অসত্য । কাৰণ দুটা বিন্দুৰ মাজেৰে মাত্ৰ এটাহে ৰেখা পাব পাৰি ।
(iii) উক্তিটো সত্য । কাৰণ ইউক্লিডৰ স্বীকাৰ্যৰ পৰা, এডাল সীমিত ৰেখা (ৰেখাখণ্ড) অসীমলৈ বঢ়াই দিয়া হয় ।
(iv) উক্তিটো সত্য । কাৰণ, দুটা সমান বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ সমান ।
(v) উক্তিটো সত্য । কাৰণ ইউক্লিডৰ স্বতঃসিদ্ধ পৰা, এডাল সৰলৰেখা এটা বিন্দুৰ পৰা আন যিকোনো বিন্দুলৈ টানিব পাৰি ।
2. তলৰ প্ৰতিটো পদৰ সংজ্ঞা দিয়া । তাত কিবা আন পদ আছে নেকি যাৰ প্ৰথমে সংজ্ঞা দিয়াৰ প্ৰয়োজন ? সেইবোৰ কি আৰু তুমি কেনেকৈ সেইবোৰ সংজ্ঞা দিবা ?
(i) সমান্তৰাল ৰেখা
(ii) লম্ব ৰেখা
(iii) ৰেখাখণ্ড
(iv) এডটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ
(v) বৰ্গ
সমাধানঃ
(i) সমান্তৰাল ৰেখাঃ সমতলত দুডাল ৰেখা প্ৰতিডালেই দুয়োমূৰে অসীমলৈ এনেভাৱে বিস্তৃত হৈ থাকে যে ৰেখাদুডালে পৰস্পৰ কেতিয়াও ছেদ নকৰে আৰু সিহঁতৰ দুৰত্ব সদায় একে থাকে তেনেহ’লে ৰেখা দুডালক সমান্তৰাল ৰেখা বোলি কোৱা হয় ।
(ii) লম্ব ৰেখাঃ এডাল ৰেখাৰ ওপৰত আন এডাল ৰেখা এনে ভাৱে থিয় হৈ থাকে যে ই উৎপন্ন কৰা সন্নিহিত কোণ দুটাৰ প্ৰত্যেকেৰে মান 900 সমান হয় । তেন’হলে থিয় হৈ থকা ৰেখাডালক আন এডাল ৰেখাৰ ওপৰত লম্ব বোলি কোৱা হয়।
তাত কিবা আন পদ আছে । তাত থকা পদ কেইটা হল ৰেখা, সন্নিহিত কোণ আৰু সমকোণ।
(iii) ৰেখাখণ্ডঃ এডাল ৰেখাৰ যিকোনো অংশক তাৰ ৰেখাখণ্ড বোলি কোৱা হয় ।
তাত কিবা আনপদ আছে। তাত থকা আনপদটো হল ৰেখা ।
(iv) এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধঃ এটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা পৰিধিলৈ টনা ৰেখাখণ্ডৰ দীঘক এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ বোলি কোৱা হয় ।
তাত কিবা আনপদ আছে। তাত থকা আনপদকেইটা হ’ল বৃত্ত, কেন্দ্ৰ আৰু পৰিধি।
(v) বৰ্গঃ এটা আয়তৰ প্ৰতিটো ওচৰা- ওচৰি বাহু পৰস্পৰ সমান হ’লে তাক বৰ্গ বোলি কোৱা হয়।
তাত কিবা আনপদ আছে। তাত থকা আনপদটো হ’ল - আয়ত ।
3. তলত স্বীকাৰ্য দুটা বিবেচনা কৰাঃ
(i) প্ৰদত্ত দুটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দু A আৰু B ৰ বাবে তৃতীয় এটা বিন্দু C পোৱা যায় যি A আৰু B ৰ মাজত অৱস্হিত ।
(ii) একে ৰেখাত নাথাকিবলৈ হ’লে অতি কমেও তিনিটা বিন্দু থাকে । এই স্বীকাৰ্য দুটাত কিবা সংজ্ঞাহীন পদ আছেনে ? এই দুটা স্বীকাৰ্য সংগত নে ? সিহঁতে ইউক্লিডৰ স্বীকাৰ্য মানি লয়নে ? ব্যাখ্যা কৰা।
সমাধানঃ
(i) এি স্বীকাৰ্যকেটাত দুটা অ-নিৰ্ণয় পদ আছে । সেইয়া হলঃ বিন্দু আৰু ৰেখা । এই স্বীকাৰ্যক কেইটা স্হিৰ কিয়নো সিহঁতে দুটা পৃথক অবস্হান কথা অৱগত কৰিছে । (i) দুটা বিন্দু A আৰু B দিয়া থাকিলে সিহঁতৰ মাজতত থকা C বিন্দু পোৱা যাব ।
(ii) আকৈ A আৰু B দিয়া থাকিলে সিহঁতৰ A আৰু B- মাজেদি যোৱা ৰেখাৰ ওপৰত নথকা এটা বিন্দু C ল’ব পাৰি । এই স্বীকাৰ্যকেইটা ইউক্লীডিয় স্বীকাৰ্য দুটাক নামানে । অৱশ্য ইউক্লীডৰ স্বতঃসিদ্ধ সিদ্ধান্ত (i) ক মানি চলে ।
4. যদি দুটা C, দুটা বিন্দু A আৰু B ৰ মাজত থকে যাতে AC = BC, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে AC = ½ AB । ব্যাখ্যা কৰা।
সমাধানঃ
যিহেতু C,বিন্দুটো A আৰু B বিন্দুটোৰ মাজত আছে । যাতে AC = BC
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে, AC = ½AB
এতিয়া, AC = BC
⇒ AC + AC + = BC + AC
⇒ 2AC = AB
∴ AC = ½AB
প্ৰমাণিত
5. 4 নং প্ৰশ্নত C বিন্দুক AB ৰেখখণ্ডৰ মধ্যবিন্দু বোলে । প্ৰমাণ কৰা যে, যিকোনো ৰেখ্খণ্ডৰ এটা আৰু মাত্ৰ এটাহে মদ্যবিন্দু থাকে ।
সমাধানঃ
ধৰোঁ
AB ৰেখাখণ্ডৰ C আৰু D দুটা মধ্যবিন্দু
এতিয়া, AC = ½AB …. …. … (1)
AD = ½AB …………. (2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা AC = AD [ যিহেতু অকেটা বস্তৰ সমান বস্তবোৰ পৰস্পৰ সমান]
6. চিত্ৰ 5.10 ত, যদি AC = BD, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে, AC = BD
সমাধানঃ
দিয়া আছে চিত্ৰ 5.10 ত AC = BD
⇒ AB + BC = BC + CD
⇒ AB + BC – BC = CD
∴ AB = CD
প্ৰমাণিত
7. ইউক্লিডৰ স্বতঃসিদ্ধ তালিকাৰ স্বতঃসিদ্ধ 5 ক কিয় চিৰসত্য বুলি বিবেচনা কৰা হয় ?(মন কৰা যে প্ৰশ্নটো স্বীকাৰ্য 5 ৰ বিষয়ে নহয় ।)
সমাধানঃ ইউক্লিডৰ স্বতঃসিদ্ধ তালিকাৰ স্বতঃসিদ্ধ 5 ক বুলি বিবেচনা কৰা হয় । ই এটা আটাইতকৈ ডাঙৰ শব্দৰ সংজ্ঞা দিয়ে ।
No comments:
Post a Comment