SEBA Class 9 Mathematics Chapter 9, Exercise 9.3

 অণুশীলনী 9.3

 

1. চিত্ৰ 9.23 ত কোনো এটা ত্ৰিভুজ ABC ৰ AD মধ্যমাৰ ওপৰত E এটা যিকোনো বিন্দু। দেখুওৱা যে, কালি (ABE) = কালি (ACE)।

Solution:

দিয়া আছে,

ত্ৰিভুজ ABC ৰ AD মধ্যমা, গতিকে ই ত্ৰিভুজটোক দুটা সমান কালিৰ ত্ৰিভুজত ভাগ কৰিছে।

∴ কালি (ABD) = কালি (ACD) — (i)

আকৌ,

ED য়ো ΔABC ৰ এডাল মধ্যমা।

∴ কালি (EBD) = কালি (ECD) — (ii)

এতিয়া, (ii) ৰ পৰা (i) বিয়োগ কৰি পাওঁ,

কালি(ABD) – কালি(EBD) = কালি(ACD) – কালি(ECD)

⇒কালি(ABE) = কালি(ACE)

2. ABC ত্ৰিভুজৰ AD মধ্যমাৰ E মধ্যবিন্দু। দেখুওৱা যে, কালি(BED) = ¼ কালি(ABC)।

Solution:

আমি জানো,

ত্ৰিভুজৰ মধ্যমা এডালে ত্ৰিভুজটোক দুটা সমান কালিৰ ত্ৰিভুজত ভাগ কৰে।

গতিকে, ΔABC ত-

কালি(ABD) = ½ কালি(ABC) — (i) [AD মধ্য়মা]

একেদৰে, ΔABD ত-

কালি(BED) = ½ কালি(ABD) [BE মধ্য়মা]

⇒ কালি(BED) = ½ . ½ কালি(ABC) [(i) ৰ পৰা]

⇒ কালি(BED) = ¼ কালি(ABC)


3. দেখুওৱা যে এটা সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুটাই সামান্তৰিকটোক চাৰিটা সমান কালিৰ ত্ৰিভুজত ভাগ কৰে।

Solution:



আমি জানো,

সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

গতিকে, O বিন্দুটো AC আৰু BD কৰ্ণ দুডালৰ মধ্যবিন্দু।

ΔABC ত BO মধ্যমা

∴ কালি(AOB) = কালি(BOC) — (i)

একেদৰে,

ΔBCD ত CO মধ্যমা

∴ কালি(BOC) = কালি(COD) — (ii)

ΔACD ত OD মধ্যমা

∴ কালি(AOD) = কালি(COD) — (iii)

ΔABD ত AO মধ্যমা

∴ কালি(AOD) = কালি(AOB) — (iv)

এতিয়া (i), (ii), (iii) আৰু (iv) ৰ পৰা আমি পাওঁ,

কালি(AOB) = কালি(BOC) = কালি(COD) = কালি(AOD)

অৰ্থাৎ, এটা সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুটাই সামান্তৰিকটোক চাৰিটা সমান কালিৰ ত্ৰিভুজত ভাগ কৰে।

4. চিত্ৰ 9.24 ত একে ভূমি AB ৰ ওপৰত ABC আৰু ABD দুটা ত্ৰিভুজ। যদি AB ৰেখাই CD ৰেখাটোক O বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত কৰে, তেন্তে দেখুওৱা যে, কালি(ABC) = কালি(ABD)।

Solution:

AB ৰেখাই CD ৰেখাটোক O বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত কৰিছে।

∴ ΔACD ৰ AO মধ্যমা

∴কালি(AOC) = কালি(AOD) — (i)

একেদৰে,

ΔBCD ৰ BO মধ্য়মা

∴ কালি(BOC) = কালি(BOD) — (ii)

এতিয়া, (i) আৰু (ii) যোগ কৰি পাওঁ,

কালি(AOC) + কালি(BOC) = কালি(AOD) + কালি(BOD)

⇒ কালি(ABC) = কালি(ABD)


5. এটা ত্ৰিভুজ ABC ৰ BC, CA আৰু AB বাহুকেইটাৰ মধ্যবিন্দু যথাক্ৰমে D, E আৰু F ।দেখুওৱা যে,

(i) BDEF এটা সামান্তৰিক

(ii) কালি(DEF) = ¼ কালি(ABC)

(iii) কালি (BDEF) = ½ কালি(ABC)


Solution:

(i) ΔABC ৰ পৰা মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুসৰি পাওঁ,

EF || BC আৰু EF = ½ BC

আকৌ,

BD = ½ BC (D মধ্যবিন্দু)

গতিকে, BD = EF আৰু BD || EF

আমি জানো,

চতুৰ্ভুজ এটাৰ এযোৰ বিপৰীত বাহু সমান আৰু সমান্তৰাল হ'লে চতুৰ্ভুজটো এটা সামান্তৰিক হয়।

∴ BDEF এটা সামান্তৰিক

(ii) একেদৰে দেখুৱাব পাৰি যে,

DCEF আৰু AFDE য়ো সামান্তৰিক।

যিহেতু, সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ এডালে ইয়াক দুটা সমান কালিৰ ত্ৰিভুজত বিভক্ত কৰে,

∴ কালি(BFD) = কালি(DEF) (সামান্তৰিক BDEF ৰ পৰা) — (i)

একেদৰে,

কালি(CDE) = কালি(DEF) (সামান্তৰিক DCEF ৰ পৰা) — (ii)

কালি(AFE) = কালি(DEF) (সামান্তৰিক AFDE ৰ পৰা) — (iii)

(i), (ii) আৰু (iii) ৰ পৰা পাওঁ,

কালি(DEF) = কালি(BFD) = কালি(CDE) = কালি(AFE)

⇒ কালি(DEF) + কালি(BFD) + কালি(CDE) + কালি(AFE) = কালি(ABC)

⇒ 4 কালি(DEF) = কালি(ABC)

⇒ কালি(DEF) = ¼ কালি(ABC)

(iii) কালি(BDEF) = কালি(DEF) + কালি(BDE)

⇒ কালি(BDEF) = কালি(DEF) + কালি(DEF)

⇒ কালি(BDEF) = 2 × কালি(DEF)

⇒ কালি(BDEF) = 2 × ¼ কালি(ABC)

⇒ কালি(BDEF) = ½ কালি(ABC)

6. চিত্ৰ 9.25 ত ABCD চতুৰ্ভুজৰ কৰ্ণ AC আৰু BD য়ে O বিন্দুত ছেদ কৰিছে যাতে OB = OD । যদি AB = CD, তেন্তে দেখুওৱা যে-

(i) কালি(DOC) = কালি(AOB)

(ii) কালি(DCB) = কালি(ACB)

(iii) DA || CB অৰ্থাৎ ABCD এটা সামান্তৰিক।

[ইংগিত: D আৰু B ৰ পৰা AC লৈ দুডাল লম্ব টানা]

Solution:

দিয়া আছে,

OB = OD আৰু AB = CD

অংকন,

DE ⊥ AC আৰু BF ⊥ AC অকাঁ হ'ল।

প্ৰমাণ:

(i) ΔDOE আৰু ΔBOF ত-

∠DOE = ∠BOF (বিপ্ৰতীপ শীৰ্ষক কোণ)

∠DEO = ∠BFO = 90° (অংকনমতে)

OD = OB (দিয়া আছে)

∴ ΔDOE ≅ ΔBOF (AAS চৰ্ত মতে)

∴ DE = BF (CPCT অনুসৰি) — (i)

আমি জানো, সৰ্বসম ত্ৰিভুজবোৰৰ কালি সমান।

∴ কালি(DOE) = কালি(BOF) — (ii)

আনহাতে,

ΔDEC আৰু ΔBFA ত-

∠DEC = ∠BFA = 90° (অংকনমতে)

CD = AB (দিয়া আছে)

DE = BF [(i) ৰ পৰা]

∴ ΔDEC ≅ ΔBFA (RHS চৰ্ত মতে)

∴ কালি(DEC) = কালি(BFA) — (iii)

এতিয়া, (ii) আৰু (iii) যোগ কৰিলে,

কালি(DOE) + কালি(DEC) = কালি(BOF) + কালি(BFA)

⇒ কালি(DOC) = কালি(AOB)

(ii) ∵ কালি(DOC) = কালি(AOB)

দুয়োপক্ষত কালি(BOC) যোগ কৰিলে পাওঁ,

⇒কালি(DOC) + কালি(BOC) = কালি(AOB) + কালি(BOC)

⇒ কালি(DCB) = কালি(ACB)



(iii) আমি জানো,

একে ভুমিৰ (সমান ভূমিৰ) ওপৰত থকা একে কালিবিশিষ্ট দুটা ত্ৰিভুজ একে সমান্তৰালৰ মাজত থাকে।

∵ কালি(DCB) = কালি(ACB)

∴ DA || CB

∵ ABCD চতুৰ্ভুজটোৰ এযোৰ বিপৰীত বাহু সমান (AB = CD) আৰু আনযোৰ বিপৰীত বাহু সমান্তৰাল DA || CB

∴ ABCD এটা সামান্তৰিক।



7. ABC ত্ৰিভুজৰ AB আৰু AC বাহু দুটাৰ ওপৰত দুটা বিন্দু ক্ৰমে D আৰু E এনেদৰে লোৱা হৈছে যাতে কালি(DBC) = কালি(EBC)। প্ৰমাণ কৰা যে DE || BC ।

Solution:

∵ ΔDBC আৰু ΔEBC একে ভূমি BC ওপৰত আছে আৰু ইহঁতৰ কালি সমান।

∴ ত্ৰিভুজ দুটা একে সমান্তৰালৰ মাজত আছে

∴ DE || BC



8. ABC ত্ৰিভুজৰ BC বাহুৰ সমান্তৰাল XY এডাল ৰেখা। যদি BE || AC আৰু CF || AB য়ে XY ক ক্ৰমে E আৰু F বিন্দুত কাটে, তেন্তে দেখুওৱা যে কালি(ABE) = কালি(ACF)

Solution:

অংকনমতে, BCQE আৰু BCFP দুটা সামান্তৰিক।

আৰু ইহঁত একে ভূমি BC আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখা BC আৰু XY ৰ মাজত অৱস্থিত।

∴ কালি(BCQE) = কালি(BCFE) — (i)

ΔABE আৰু সামান্তৰিক BCQE একে ভুমি BE আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখা BE আৰু AC ৰ মাজত আছে।

∴ কালি(ABE) = ½ কালি(BCQE) — (ii)

আকৌ,

ΔACF আৰু সামান্তৰিক BCFP একে ভুমি CF আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখা CF আৰু AB ৰ মাজত আছে।

∴ কালি(ACF) = ½ কালি(BCFP) — (iii)

এতিয়া, (i), (ii) আৰু (iii) ৰ পৰা,

কালি(ABE) = কালি(ACF)



9. ABCD এটা সামান্তৰিকৰ AB বাহুটোক যিকোনো এটা বিন্দু P লৈ বঢ়াই দিয়া হ'ল। এতিয়া A বিন্দুৰ মাজেৰে আৰু CP ৰ সমান্তৰালভাৱে টনা এটা ৰেখাই CB ৰ বৰ্ধিতাংশত Q বিন্দুত কাটিছে। এতিয়া PBQR সামান্তৰিকটো সম্পূৰ্ণ কৰা (চিত্ৰ 9.26 চোৱা)। দেখুওৱা যে

কালি(ABCD) = কালি(PBQR)

[ইংগিত: AC আৰু PQ সংযোগ কৰা। এতিয়া কালি(ACQ) আৰু কালি(APQ) তুলনা কৰা]

Solution:

AC আৰু PQ সংযোগ কৰা হ'ল।

△ACQ আৰু △APQ একে ভূমি AQ আৰু একে সমান্তৰাল AQ আৰু CP ৰ মাজত অৱস্থিত।

∴ কালি(ACQ) = কালি(APQ)

⇒ কালি(ACQ)-কালি(ABQ) = কালি(APQ)-কালি(ABQ)

⇒ কালি(ABC) = কালি(QBP) — (i)

AC আৰু QP ক্ৰমে ABCD আৰু PBQR সামান্তৰিক দুটাৰ কৰ্ণ।

∴ কালি(ABC) = ½ কালি(ABCD) — (ii)

কালি(QBP) = ½ কালি(PBQR) — (iii)

এতিয়া, (i), (ii) আৰু (iii) ৰ পৰা-

½ কালি(ABCD) = ½ কালি(PBQR)

⇒ কালি(ABCD) = কালি(PBQR)



10. ABCD ট্ৰেপিজিয়ামৰ AB || DC । কৰ্ণ AC আৰু BD য়ে পৰস্পৰক O বিন্দুত কাটে। প্ৰমাণ কৰা যে, কালি(AOD) = কালি(BOC) ।

Solution:

△DAC আৰু △DBC একে ভূমি DC আৰু একে সমান্তৰাল AB আৰু DC ৰ মাজত অৱস্থিত।

∴ কালি(DAC) = কালি(DBC)

⇒ কালি(DAC) – কালি(DOC) = কালি(DBC) – কালি(DOC) [দুয়োপক্ষৰ পৰা কালি(DOC) বিয়োগ কৰি]

⇒ কালি(AOD) = কালি(BOC)



11. চিত্ৰ 9.27 ত ABCDE এটা পঞ্চভুজ। B বিন্দুৰ মাজেৰে AC ৰ সমান্তৰাল ৰেখা এটাই DC ৰ বৰ্ধিতাংশৰ F বিন্দুত কাটিছে। দেখুওৱা যে

(i) কালি(ACB) = কালি(ACF)

(ii) কালি(AEDF) = কালি(ABCDE)



Solution:

(i) △ACB আৰু △ACF একে ভূমি AC একে সমান্তৰাল ৰেখা AC আৰু BF ৰ মাজত অৱস্থিত।

∴ কালি(ACB) = কালি(ACF)

(ii) ∵ কালি(ACB) = কালি(ACF)

⇒ কালি(ACB) + কালি(ACDE) = কালি(ACF) + কালি(ACDE)

[দুয়োপক্ষত কালি(ACDE) যোগ কৰি]

⇒ কালি(ABCDE) = কালি(AEDF)

12. ইন্দ্ৰ নামৰ গাঁওবাসী এজনৰ এটুকুৰা চতুৰ্ভুজ আকৃতিৰ মাটি আছিল। গাঁৱৰ গাঁও পঞ্চায়তে তাত স্বাস্থ্যকেন্দ্ৰ এটা প্ৰতিষ্ঠা কৰিবলৈ বুলি তেওঁৰ মাটিটুকুৰাৰ এটা চুকৰ পৰা কিছু অংশ ল'ব খুজিলে। ইন্দ্ৰ এই প্ৰস্তাবটোত সন্মত হ'ল এটা চৰ্তত যে তেওঁক তেওঁৰ মাটি টুকুৰাৰ পৰিৱৰ্তে একে সমান পৰিমাণৰ মাটি এটুকুৰা তেওঁৰ মাটিৰ লগত লগলগাকৈ দিব লাগিব যাতে গোটিই মাটিখিনি এটা ত্ৰিভুজ আকৃতিৰ হয়।

তেওঁৰ এই প্ৰস্তাৱটো কিদৰে কাৰ্যকৰী কৰিব পৰা যাব ব্যাখ্যা কৰা।

Solution:

ধৰাহ'ল, মাটিটুকুৰা ABCD চতুৰ্ভুজ আকৃতিৰ।

অংকন-

BD কৰ্ণ সংযোগ কৰা হ'ল।

BD ৰ সমান্তৰাল হোৱাকৈ AE অকাঁ হ'ল।

BE আৰু AD সংযোগ কৰা হ'ল যিয়ে পৰস্পৰক O বিন্দুত কাটে।

এতিয়া,

△AOB হ'ল স্বাস্থ্য়কেন্দ্ৰ প্ৰতিষ্ঠা কৰিব লোৱা মাটিটুকুৰা।

△DEO হ'ল সমান কালিৰ লগলগোৱা মাটি টুকুৰা।

△BCE হ'ল মাটি এৰি দিয়া আৰু লগলগোৱাৰ পাছত মানুহজনৰ মাটিটুকুৰা।

প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে,

কালি(DEO) = কালি(AOB)

প্ৰমাণ-

△DBE আৰু △DBA একে ভূমি DB আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখা DB আৰু EA ৰ মাজত অৱস্থিত।

∴ কালি(DBE) = কালি(DBA)

⇒ কালি(DBE) – কালি(DOB) = কালি(DBA) – কালি(DOB)

⇒ কালি(DEO) = কালি(AOB)



13. ABCD ট্ৰেপিজিয়ামৰ AB||DC । AC ৰ সমান্তৰাল এডাল ৰেখাই AB ক X আৰু BC ক Y বিন্দুত কাটিছে। প্ৰমাণ কৰা যে, কালি(ADX) = কালি(ACY)

[ইংগিত : CX লগ লগোৱা।]

Solution:

দিয়া আছে,

ABCD ট্ৰেপিজিয়ামৰ AB || DC

আৰু XY || AC

অংকন-

CX সংযোগ কৰা হ'ল।

প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে,

কালি(ADX) = কালি(ACY)

প্ৰমাণ-

△ADX আৰু △ACX একে ভূমি AX আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখা AX আৰু DC ৰ মাজত আছে।

∴ কালি(ADX) = কালি(ACX) — (i)

একেদৰে,

△ACY আৰু △ACX একে ভূমি AC আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখা AC আৰু XY ৰ মাজত আছে।

∴ কালি(ACX) = কালি(ACY) — (ii)

এতিয়া, (i) আৰু (ii) ৰ পৰা,

কালি(ADX) = কালি(ACY)



14. চিত্ৰ 9.28 অত AP || BQ || CR , প্ৰমাণ কৰা যে, কালি(AQC) = কালি(PBR)

Solution:

দিয়া আছে,

AP || BQ || CR

প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে,

কালি(AQC) = কালি(PBR)

প্ৰমাণ,

△BAQ আৰু △BPQ একে ভূমি BQ আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখা AP আৰু BQ ৰ মাজত অৱস্থিত।

∴ কালি(BAQ) = কালি(BPQ) — (i)

আনহাতে,

△BCQ আৰু △BRQ একে ভূমি BQ আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখা CR আৰু BQ ৰ মাজত অৱস্থিত।

∴ কালি(BCQ) = কালি(BRQ) — (i)

এতিয়া, (i) আৰু (ii) যোগ কৰিলে,

কালি(BAQ) + কালি(BCQ) = কালি(BPQ) + কালি(BRQ)

⇒ কালি(AQC) = কালি(PBR)



15. ABCD চতুৰ্ভুজ এটাৰ AC আৰু BD কৰ্ণ দুডালে O বিন্দুত কাটিছে যাতে কালি(AOD) = কালি(BOC) । প্ৰমাণ কৰা যে, ABCD এটা ট্ৰেপিজিয়াম।

Solution:

দিয়া আছে,

কালি(AOD) = কালি(BOC)

প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে,

ABCD এটা ট্ৰেপিজিয়াম।

প্ৰমাণ-

কালি(AOD) = কালি(BOC)

⇒ কালি(AOD) + কালি(AOB) = কালি(BOC) + কালি(AOB)

⇒ কালি(ABD) = কালি(ABC)

∵ △ADB আৰু △ACB ত্ৰিভুজ দুটা একে ভূমি AB ৰ ওপৰত থকা দুটা সমান কালিৰ ত্ৰিভুজ।

∴ AB ∥ CD

∴ ABCD এটা ট্ৰেপিজিয়াম।




16. চিত্ৰ 9.29 অত কালি(DRC) = কালি(DPC), আৰু কালি(BDP) = কালি(ARC)। দেখুওৱা যে, ABCD আৰু DCPR চতুৰ্ভুজ দুয়োটাই ট্ৰেপিজিয়াম।

Solution:

দিয়া আছে,

কালি(DRC) = কালি(DPC)

কালি(BDP) = কালি(ARC)

প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে,

ABCD আৰু DCPR চতুৰ্ভুজ দুয়োটাই ট্ৰেপিজিয়াম।

প্ৰমাণ-

কালি(BDP) = কালি(ARC)

⇒ কালি(BDP) – কালি(DPC) = কালি(ARC) – কালি(DRC)

⇒ কালি(BDC) = কালি(ADC)

∵ △BDC আৰু △ADC একে ভূমি DC ৰ ওপৰত আছে।

∴ AB ∥ CD

অৰ্থাৎ, ABCD এটা ট্ৰেপিজিয়াম।

একেদৰে,

কালি(DRC) = কালি(DPC)

∵ △DRC আৰু △DPC একে ভূমি DC ৰ ওপৰত আছে।

∴ DC ∥ PR

অৰ্থাৎ, DCPR এটা ট্ৰেপিজিয়াম।