SEBA Class 9 Mathematics Exercise 2.5

অনুশীলনী 2.5

1.তলৰ পূৰণফল কেইটা নিৰ্ণয় কৰিবলৈ উপযুক্ত ৰাশি ব্যৱহাৰ কৰাঃ—

(i) (x + 4)(x + 10)

সমাধানঃ

(x + 4)(x + 10)

= x2 + (4 + 10)x + 40×10

= x2 + 14x + 40

(ii) (x + 8)(x – 10)

সমাধানঃ

 (x + 8)(x – 10)

= x2 + {8 + (– 10)}x + 8×(– 10)

= x2 + (8 – 10)x – 80

= x2 – 2x – 80

(iii) (3x + 4)(3x – 5)

সমাধানঃ

 (3x + 4)(3x – 5)

= (3x)2 + {4 + ( – 5)}3x + 4×( – 5)

= 9x2 + (4 – 5)3x – 20

= 9x2 – 3x – 20

(iv)

সমাধানঃ

(v) (3 – 2x)( 3 + 2x)

সমাধানঃ

(3 – 2x)( 3 + 2x)

= 32 – (2x)2

= 9 – 4x2

2. প্ৰত্যক্ষভাৱে পূৰণ নকৰি তলৰ পূৰণফলসমূহ নিৰ্ণয় কৰাঃ – 

(i) 103 × 107

সমাধানঃ 

103 × 107

= (100 + 3)(100 + 7) 

= (100)2 + (3 + 7)100 + 3×7

= 10000 + 10×100 + 21

= 10000 + 1000 + 21

= 11021

(ii) 95×96

সমাধানঃ 

95×96

= (100 – 5)(100 – 4)

= 1002 + {(– 5) + (– 4)}100 + (– 5)(– 4)

= 10000 + (– 5 – 4)100 + 20

= 10000 + (– 9)100 + 20

= 10000 – 900 + 20

= 9120

(iii) 104×96

সমাধানঃ 

104×96

= (100 + 4)(100 – 4)

= (100)2 – 42

= 10000 – 16

= 9984

3. উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ – 

(i) 9x2 + 6xy + y2

সমাধানঃ 

9x2 + 6xy + y2

= (3x)2 + 2×3x × y + y2

= (3x + y)2

= (3x + y)(3x + y)

(ii) 4y2 – 4y + 1

সমাধানঃ 

4y2 – 4y + 1

= (2y)2 – 2×2y×1 + 12

= (2y – 1)2

= (2y – 1)(2y – 1)

(iii)

সমাধানঃ 

4. উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ ৰাশিবোৰ বিস্তাৰ কৰা।

(i) (x + 2y + 4z)2

সমাধানঃ 

(x + 2y + 4z)2

 = x2 + (2y)2 + (4z)2 + 2.x.(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)x

 = x2 + 4y2 + 16z2 + 4xy + 16yz + 8xz

(ii) (2x – y + 2)2

সমাধানঃ 

(2x – y + 2)2

 = (2x)2 + (–y) 2 + z2 + 2×2x(– y) + 2(– y)z + 2×z×2x

 = 4x2 + y2 + z2 – 4xy – 2yz + 4xz

(iii) (– 2x + 3y + 2z)2

সমাধানঃ 

 (– 2x + 3y + 2z)2

 = (– 2x)2 + (3y)2 + (2z)2 + 2( – 2x)3y + 2×3y×2z + 2×2z(– 2x)

 = 4x2 + 9y2 + 4z2 – 12xy + 12yz – 8xz

(iv) (3a – 7b – c)2

সমাধানঃ 

(3a – 7b – c)2

= {3a + (– 7b) + (– c)}2

= (3a)2 + ( – 7b)2 + ( – c)2 + 2×3a(– 7b) + 2(– 7b)(– c) + 2(– c)3a 

= 9a2 + 49b2 + c2 – 42ab + 14bc – 6ca 

(v) (– 2x + 5y – 3z)2

সমাধানঃ 

(– 2x + 5y – 3z)2

= {(– 2x) + 5y + (– 3z)}2

 = (– 2x)2 + (5y)2 + (– 3z)2 + 2( – 2x)(5y) + 2(5y)(– 3z) + 2(– 3z)(2x)

 = 4x2 + 25y2 + 9z2 – 20xy – 30yz + 12zx

(vi)

সমাধানঃ

5. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ

(i) 4x2 + 9y2 + 16x2 + 12xy – 2yz – 16xz

সমাধানঃ 

4x2 + 9y2 + 16x2 + 12xy – 2yz – 16xz

= (2x)2 + (3y)2 + (– 4z)2 + 2(2x).(3y) + 2(3y)(– 4z) + 2(2x)(– 4z)

= (2x + 3y – 4z)2

= (2x + 3y – 4z)(2x + 3y – 4z)

(ii)

সমাধানঃ 

6. তলৰ ঘনকেইটা বিস্তাৰ কৰাঃ

(i) (2x + 1)3

সমাধানঃ

= (2x)3 + 3(2x)2×1 + 3×2x×12 + 13

= 8x3 +12x2 + 6x + 1

(ii) (2a – 3b)2

সমাধানঃ

(2a – 3b)2

= (2a)3 – 3(2a)2( 3b) + 3(2a)( 3b)2 – (3b)3

= 8a3 – 36a2b + 54ab2 – 27b3

(iii)

সমাধানঃ

(iv)

সমাধানঃ

7. উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ ৰাশিৰ মান নিৰ্ণয় কৰাঃ

(i) (99)3

সমাধানঃ

(ii) (102)3

সমাধানঃ

(iii) (998)3

সমাধানঃ

8. তলৰ প্ৰতিটোৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ – 

(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2

সমাধানঃ

8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2

= (2a)3 + b3 + 3(2a)2b + 3(2a) b2

= (2a + b)3

= (2a + b)(2a + b)(2a + b)

(ii) 8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2

সমাধানঃ

8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2

= (2a)3 + b3 – 3(2a)2b + 3(2a) b2

= (2a – b)3

= (2a – b)(2a – b)(2a – b)

(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2

সমাধানঃ 

27 – 125a3 – 135a + 225a2

= (3)3 – (5a)3 – 3×32×5a + 3×3(5a)2

= (3 – 5a)3

= (3 – 5a)(3 – 5a)(3 – 5a)

(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2

সমাধানঃ

64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2

= (4a)3 – (3b)3 – 3(4a)2(3b) + 3(4a)(3b)2

= (4a – 3b)3

= (4a – 3b)(4a – 3b)(4a – 3b)

(v)

সমাধানঃ

9. সত্যাপন কৰাঃ – 

(i) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)

সমাধানঃ

R.H.S = (x + y)(x2 – xy + y2)

= x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2)

= x3 – x2y + xy2 + x2y – xy2 + y3

= x3 + y3

= LHS

(ii) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)

সমাধানঃ

R.H.S = (x – y)(x2 + xy + y2)

= x(x2 + xy + y2) – y(x2 + xy + y2)

= x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3

= x3 – y3

= LHS

10. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ – 

(i) 27y3 + 125z3

সমাধানঃ

27y3 + 125z3

 = (3y)3 + (5z)3

 = (3y + 5z){(3y)2 – (3y)(5z) + (5z)2}

 = (3y + 5z)(9y2 – 15yz + 25z2)

(ii) 64m3 – 343n3

সমাধানঃ

64m3 – 343n3

= (4m)3 – (7n)3

= (4m – 7n){(4m)2 + (4m)(7n) + (7n)2}

= (4m – 7n)(16m2 + 28mn + 49n2)

11. 27x3 + y3 + z3 – 9xyz ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ – 

সমাধানঃ 

27x3 + y3 + z3 – 9xyz

 = (3x)3 + y3 + z3 – 3(3x).y.z

 = (3x + y + z){(3x)2 + y2 + z2 – (3x)(y) – yz – z(3x)}

 = (3x + y + z)(9x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – 3xz)

12. সত্যাপন কৰা যে 

সমাধানঃ 

13.(i) যদি x + y + z = 0 তেন্তে দেখুওৱা যে x3 + y3 + z3 = 3xyz

সমাধানঃ

আমি জানো যে,

x3 + y3 + z3 – 3xyz =  (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)

⇒ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) [⸪x + y + z = 0]

⇒ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0

⇒ x3 + y3 + z3 = 3xyz

(ii) যদি a + b + c = 0 তেন্তে দেখুওৱা যে,

 a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b) + 3abc = 0

সমাধানঃ 

দিয়া আছে,

a + b + c = 0

⇒ a + b = – c

a + b + c = 0

⇒ b + c = – a

a + b + c = 0

⇒ a + c = – b

L.H.S= a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b) + 3abc

= a2(– a) + b2 (– b) + c2 (– c) + 3abc

= – a3 – b3 – c3 + 3abc

= – (a3 + b3 + c3 – 3abc) 

= – (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

= – 0(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) [⸪a + b + c = 0]

= 0

= RHS

(iii) যদি 2a – b + c = 0 তেন্তে দেখুওৱা 4a2 – b2 + c2 + 4ac 

সমাধানঃ 

দিয়া আছে,

2a – b + c = 0

⇒ 2a + c = b

এতিয়া,

LHS = 4a2 – b2 + c2 + 4ac

= 4a2 – (2a + c)2 + c2 + 4ac [⸪2a + c = b]

= 4a2 – {(2a)2 +2(2a)c + c2} + c2 + 4ac

= 4a2 – (4a2 +4ac + c2) + c2 + 4ac

= 4a2 – 4a2 – 4ac – c2 + c2 + 4ac

= 0

= RHS

(iv) যদি a + b + c = 0, তেন্তে দেখুওৱা যে

সমাধানঃ 

দিয়া আছে,

a + b + c = 0

⇒ b + c = –a

a + b + c = 0

⇒ c + a = –b

a + b + c = 0

⇒ a + b = –c

আমি জানো যে, যদি,

a + b + c = 0

তেনেহলে,

a3 + b3 + c3 = 3abc –––––––––––––––– (1)

(v) যদি a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0 তেন্তে দেখুওৱা যে a = b = c

সমাধানঃ

দিয়া আছে,

 a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0

⇒ 2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 2×0

⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca = 0

⇒ a2 + a2 + b2 + b2 + c2 + c2 – 2ab – 2bc – 2ca = 0

⇒ a2 – 2ab + b2 + b2 – 2bc + c2 + c2– 2ca + a2 = 0

⇒ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0

⇒ (a – b)2 = 0, (b – c)2 = 0 , (c – a)2 = 0

⇒ a – b = 0, b – c = 0, c – a = 0

⇒ a = b, b = c, c = a 

⇒ a = b = c 

14. ঘনফল প্ৰকৃতাৰ্থত নিৰ্ণয় নকৰাকৈ তলৰ প্ৰতিটোৰ মান নিৰ্ণয় কৰাঃ – 

(i) (– 12)3 + (7) 3 + (5) 3

সমাধানঃ

ইয়াত,

–12+7+5 = 0

আমি জানো যে,

যদি,

a + b + c = 0

তেনেহলে,

a3 + b3 + c3 = 3abc

গতিকে,

(–12)3+(7)3+(5)3 

= 3×(–12)×7×5 

= –1260

(ii) (28) 3 + (– 15)3 + (– 13)3

সমাধানঃ

ইয়াত,

28 + (–15) + (–13) = 28 –15 –13 = 0

আমি জানো যে,

যদি,

a + b + c = 0

তেনেহলে,

a3 + b3 + c3 = 3abc

গতিকে,

(28)3+(–15)3+(–13)3

= 3×28(–15)(–13)

= 16380

15. তলৰ কালি দিয়া আয়ত বিলাকৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ বাবে সম্ভাব্য ৰাশিবোৰ উলিওৱাঃ

(i) কালিঃ 25a2 – 35a + 12

সমাধানঃ

দিয়া আছে কালি = 25a2 – 35a + 12

এতিয়া,

25a2 – 35a + 12

= 25a2 – (15 + 20)a + 12

= 25a2 – 15a – 20a + 12

= 5a(5a – 3) – 4(5a – 3)

= (5a – 4) (5a – 3)

আমি জানো যে, 

আয়তক্ষেত্ৰৰ কালি = দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ

⸫দৈৰ্ঘ্য  = (5a – 3) আৰু প্ৰস্থ = (5a – 4)

(ii) কালিঃ  35y2 + 13y – 12

সমাধানঃ

দিয়া আছে কালি  = 35y2 + 13y – 12

এতিয়া,

35y2 + 13y – 12

= 35y2 + (28 – 15)y – 12

= 35y2 + 28y – 15y – 12

= 7y (5y + 4) – 3 (5y + 4)

= (5y + 4)(7y – 3)

আমি জানো যে, 

আয়তক্ষেত্ৰ ফল = দৈৰ্ঘ্য × প্ৰস্থ

⸫দৈৰ্ঘ্য = 5y + 4 আৰু প্ৰস্থ = 7y – 3

16. তলৰ আয়তন দিয়া ঘনকৰ মাত্ৰা তিনিটাৰ বাবে সম্ভাব্য ৰাশিকেইটা কি কি হ’ব ?

(i) আয়তন = 3x2 – 12x

সমাধানঃ 

দিয়া আছে  আয়তন = 3x2 – 12x

এতিয়া,

3x2 – 12x

= 3x(x – 4)

⸫দীঘ × প্ৰস্থ × উচ্চতা = 3x (x – 4)

⸫আয়তীয় ঘনকটো দীঘ = 3, প্ৰস্থ   = x আৰু উচ্চতা = (x – 4)

(ii) আয়তন = 12ky2 + 8ky – 20k

সমাধানঃ 

দিয়া আছে আয়তীয় ঘনকৰ আয়তন = 12ky2 + 8ky – 20k

এতিয়া,

12ky2 + 8ky – 20k

= 4k(3y2 + 2y – 5)

= 4k{3y2 + (5 – 3)y – 5}

= 4k(3y2 + 5y – 3y – 5)

= 4k{y (3y + 5) – 1 (3y + 5)} 

= 4k(3y + 5)(y – 1)

⸫দীঘ × প্ৰস্থ × উচ্চতা = 4k(3y + 5)(y – 1)

⸫আয়তীয় ঘনকটো দীঘ = 4k, প্ৰস্থ   = (3y + 5) আৰু উচ্চতা = (y – 1)