SEBA Class 9 Mathematics Chapter 9, Exercise 9.2

 

অণুশীলনী 9.2

1. চিত্ৰ 9.15 অত, ABCD এটা সামান্তৰিক, AE ⊥ DC আৰু CF ⊥ AD. যদি AB = 16 cm, AE = 8 cm আৰু CF = 10 cm, AD উলিওৱা ।

চিত্ৰ - 9.15

Solution:

দিয়া আছে,

AB = DC = 16 cm (সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু)
AE = 8 cm আৰু CF = 10 cm

এতিয়া,

AD ভূমি সাপেক্ষে ABCD ৰ কালি = DC ভূমি সাপেক্ষে ABCD ৰ কালি

⇒ AD×CF = DC×AE [সামান্তৰিকৰ কালি = ভূমি×উচ্চতা]
⇒ AD×10 = 16×8
⇒ AD = 128/10 cm
⇒ AD = 12.8 cm

2. ABCD সামান্তৰিক এটাৰ বাহুবোৰৰ মধ্যবিন্দুকেটা যদি যথাক্ৰমে E, F, G আৰু H, দেখুওৱা যে কালি (EFGH) = 1/2 কালি (ABCD)।

Solution:

দিয়া আছে,

ABCD সামান্তৰিকটোৰ বাহুবোৰৰ মধ্যবিন্দুকেইটা ক্ৰমে E, F, G আৰু H

প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে,

কালি (EFGH) = ½ কালি (ABCD)

অংকন,

H আৰু F সংযোগ কৰা হ'ল।

প্ৰমাণ,

অংকনমতে, ABFH আৰু HFCD দুটা সামান্তৰিক।

আমি জানো,

একে ভূমিত আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখাৰ মাজত অৱস্থিত এটা ত্ৰিভুজ আৰু এটা সামান্তৰিকৰ কালি সমান।

∴ কালি (EFH) = ½ কালি (ABFH) — (i)

একেদৰে,

কালি (FGH) = ½ কালি (HFCD) — (ii)

এতিয়া,  (i) আৰু (ii) যোগ কৰিলে,

কালি (EFH) + কালি (FGH) = ½ কালি (ABFH) + ½ কালি (HFCD)

⇒ কালি (EFGH) = ½ { কালি (ABFH) + কালি (HFCD)}

∴ কালি (EFGH) = ½ কালি (ABCD)

3. ABCD এটা সামান্তৰিকৰ DC আৰু AD বাহুত অৱস্থিত যথাক্ৰমে P আৰু Q যিকোনো দুটা বিন্দু। দেখুৱা যে কালি (APB) = কালি (BQC) ।

Solution:

আমি জানো,

একে ভূমিত আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখাৰ মাজত অৱস্থিত এটা ত্ৰিভুজ আৰু এটা সামান্তৰিকৰ কালি সমান।

∴ কালি (APB) = ½ কালি (ABCD) — (i)

একেদৰে,

কালি (BQC) = ½ কালি (ABCD) — (ii)

এতিয়া, (i) আৰু (ii) ৰ পৰা, 

কালি (APB) = কালি (BQC)

4. চিত্ৰ 9.16 অত ABCD সামান্তৰিকটোৰ ভিতৰত P এটা বিন্দু। দেখুৱা যে-

(i) কালি(APB) + কালি(PCD) = ½ কালি(ABCD)

(ii) কালি(APD) + কালি(PBC) = কালি(APB) + কালি(PCD)

[ইংগিত : P ৰ মাজেৰে AB ৰ সমান্তৰালকৈ এটা ৰেখা টানা]

চিত্ৰ 9.16

Solution:

(i) P বিন্দুৰে যোৱাকৈ এডাল ৰেখা GH অকাঁ হ'ল যাতে 

AB || GH

অংকনমতে, ABHG এটা সামান্তৰিক।

এতিয়া,

ΔAPB আৰু সামান্তৰিক ABHG একে ভূমি AB আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখা AB আৰু GH ৰ মাজত অৱস্থিত।

∴ কালি(APB) = ½ কালি(ABHG) — (i)

একেদৰে,

ΔPCD আৰু সামান্তৰিক CDGH একে ভূমি CD আৰু একে দুডাল সমান্তৰাল ৰেখা CD আৰু GH ৰ মাজত অৱস্থিত।

∴ কালি(PCD) = ½ কালি(CDGH) — (ii)

(i) আৰু (ii) যোগ কৰিলে,

কালি(APB) + কালি(PCD) = ½ কালি(ABHG) + ½ কালি(CDGH)

⇒ কালি(APB) + কালি(PCD) = ½ { কালি(ABHG) + কালি(CDGH)}

⇒ কালি(APB)+ কালি(PCD) = ½ কালি(ABCD) 

(ii) P বিন্দুৰে যোৱাকৈ এডাল ৰেখা EF অকাঁ হ'ল যাতে 

AD || EF

অংকনমতে, AEDF এটা সামান্তৰিক।

এতিয়া,

ΔAPD আৰু সামান্তৰিক AEFD একে ভূমি AD আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখা AD আৰু EF ৰ মাজত অৱস্থিত।

∴ কালি(APD) = ½ কালি(AEFD) — (i)

একেদৰে,

ΔPBC আৰু সামান্তৰিক BCFE একে ভূমি BC আৰু একে দুডাল সমান্তৰাল ৰেখা BC আৰু EF ৰ মাজত অৱস্থিত।

∴ কালি(PBC) = ½ কালি(BCFE) — (ii)

(i) আৰু (ii) যোগ কৰিলে,

কালি(APD) + কালি(PBC) = ½ কালি(AEFD) + ½ কালি(BCFE)

⇒ কালি(APD) + কালি(PBC) = ½ { কালি(AEFD) + কালি(BCFE)}

⇒ কালি(APB)+ কালি(PCD) = ½ কালি(ABCD)

∴ কালি(APD) + কালি(PBC) = কালি(APB) + কালি(PCD)

5. চিত্ৰ 9.17 অত PQRS আৰু ABRS দুটা সামান্তৰিক। BR বাহুৰ ওপৰত X এটা যিকোনো বিন্দু। দেখুওৱা যে-

(i) কালি (PQRS) = কালি (ABRS)

(ii) কালি (AXS) = ½ কালি (PQRS) 

চিত্ৰ 9.17

Solution:

(i) সামান্তৰিক PQRS আৰু ABRS একে ভূমি SR আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখা SR আৰু PB ৰ মাজত অৱস্থিত।

∴ কালি(PQRS) = কালি(ABRS) — (i)

(ii) ΔAXS আৰু সামান্তৰিক ABRS একে ভূমি AS আৰু একে সমান্তৰাল ৰেখা AS আৰু BR ৰ মাজত অৱস্থিত।

∴ কালি (AXS) = ½ কালি (ABRS) — (ii)

এতিয়া, (i) আৰু (ii) ৰ পৰা পাওঁ,

কালি (AXS) = ½ কালি (PQRS)

6. এজন খেতিয়কৰ PQRS সামান্তৰিক এটাৰ আকৃতিৰ এখন খেতিপথাৰ আছিল। তেওঁ RS ৰ ওপৰত যিকোনো এটা বিন্দু ল'লে আৰু ইয়াক P আৰু Q বিন্দু দুটাৰ লগত সংযুক্ত কৰিলে। পথাৰখন কেইটা অংশত বিভক্ত হ'ল? এই অংশকেইটাৰ আকৃতিবোৰ কি কি? খেতিয়কজনে পথাৰখনৰ সমান সমান অংশত বেলেগ বেলেগ ঘেঁহু আৰু মাহৰ গুটি সিচিব খুজিলে। তেওঁ এইটো কিদৰে কৰিব?

Solution:

পথাৰখন তিনিটা ত্ৰিভুজ আকৃতিৰ অংশত বিভক্ত হ'ল-

ΔPSA, ΔPAQ আৰু ΔQAR

এতিয়া,

কালি (PSA + PAQ + QAR) = কালি PQRS — (i)

আনহাতে,

কালি (PAQ) = ½ কালি (PQRS) — (ii)

(i) আৰু (ii) ৰ পৰা পাওঁ,

কালি(PSA) + কালি(QAR) = ½ কালি(PQRS) — (iii)

এতিয়া, (ii) আৰু (iii) ৰ পৰা কব পাৰি যে,

খেতিয়কজনে ঘেঁহু বা মাহৰ গুটি ΔPAQ অথবা ΔPSA আৰু ΔQAR দুয়োটাতে সিচিব লাগিব।